漫步微积分3.1 - 多项式求导

微分学有其自身的独特性和重要性，已被应用到物理、生物和社会科学中。它能够快速渗入到应用中，并得到问题的核心。然而，从整体效率的角度看，它的具体内容推迟一下，我们先花一点时间学习如何快速而准确的求导。

我们已经知道，对函数求导的过程称作微分。这个过程直接依赖于导数的极限定义，

$$f(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

或等价的

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

我们看到这种方法非常慢而且麻烦。现在我们的目的就是建立一些法则，利用他们可以快速求导大部分函数。本篇以及之后的几篇文章，我们会学到在完全不考虑极限的情况下，如何计算多项式的导数；即便是类似下面棘手的代数函数，我们也能轻松应对

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\qquad \left[\frac{x+\sqrt{x+1}}{x-\sqrt{x+1}}\right]^{1/3},\qquad \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}$$

我们还将学习如何对三角函数求导。目前阶段，我们的目标是培养计算技能，这种技能只能通过实践得到。在没有实践的情况下，我们不可能学会如何拼写，或滑雪，或演奏乐器，正是在实践中不断发现问题，纠正问题，最终拥有相应的技能。微分也不例外。

回顾一下，$x$的多项式就是常数乘以$x$幂次方的和。幂可以是零或一个正数：

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

多项式由一些简单的部分拼凑起来的方式启发我们对求导法则的讨论：

1.常数的导数是零

$$\frac{d}{dx}c=0$$

这个命题的几何意义是一条水平直线$y=f(x)=c$斜率是零。为了根据定义证明该命题，我们注意到$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=c-c=0$所以

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}0=0$$

2.如果nn是一个正数，那么

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

用语言来描述就是，$x^n$的导数是指数$n$作为系数，指数减1作为新的指数。前面的文章中我们已经知道了三个具体的例子：

$$\frac{d}{dx}x^2=2x,\quad \frac{d}{dx}3x^2=6x,\quad \frac{d}{dx}x^4=4x^3.$$

为了证明通用性，对于$y=f(x)=x^n$我们利用二项式定理的

$$\begin{eqnarray*} \Delta y &=&f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)n-xn\\ &=&\left[xn+nx{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots +(\Delta x)n\right]-xn\\ &=&nx^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2+\cdots +(\Delta x)^n \end{eqnarray*}$$

据此可以得出

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ &=&\lim_{\Delta x\to 0}\left[nx{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x{n-2}(\Delta x)+\cdots +(\Delta x)^{n-1}\right]\\ &=&nx^{n-1} \end{eqnarray*}$$

所以

$$\frac{dy}{dx}=324x^3-648x^2+432x-96$$

例4：虽然$x,y$经常被用来表示自变量和因变量，但是这不妨碍我们选择我们喜欢的任何字母来表示他们，并且计算方法是一样。

$$s=13t^3-4t^2+25$$

是关于时间$t$的多项式；根据利用本文得出的法则，它的导数为

$$\frac{ds}{dt}=39t^2-8t$$

例5：沿着直线运动的物体，位置$s$对于时间$t$的函数为

$$s=t^3+5t^2-8t$$

停止运动时它的加速度是多少？

速度$v$和加速度$a$分别是

$$v=\frac{ds}{dt}=3t^2+10t-8\quad a=\frac{dv}{dt}=6t+10$$

物体停止时，$v=0$

$$3t^2+10t-8=(3t-2)(t+4)=0$$

即$t=\frac{2}{3},-4$。对应的加速度分别为$a=14,−14$

漫步微积分八——多项式求导