图像有个最显著的特征，就是它弯曲的朝向。图1的左边，曲线是凹的，右边是凸的。二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。
正的二阶导$f’’(x)>0$说明$f’(x)$的斜率是$x$的增函数。这意味着切线从左到右逆时针转动，如图2左边。我们说曲线是凹的(凹面是空心的那一边)。除了切点外，曲线位于切线的上方。同样的，如果二阶导是负的$f’’(x)<0$，那么$f’(x)$的斜率是减函数，切线从左到右顺时针转动，如图2右边。我们说曲线是凸的。除了切点以外，曲线位于切线的下方。
例2：有理函数
比较容易画出来，因为它关于$y$轴对称。在$x=0$处有最小值，因为此时分母最小，当$|x|\to \infty$时，$y\to 0$。 从直觉上它的图像如图4。很明存在两个拐点，接下来的问题是如果确定他们的位置。首先，计算一阶导
二阶导
解等式$y’’=0$的$x=\pm1/\sqrt{3}$，拐点的位置。我们可以根据每部分凹凸性来证实最开始我们对它的大致印象。当$x^2<\frac{1}{3}$时，$y’’<0$。当$x^2>\frac{1}{3}$时，$y’’>0$。这些事实告诉我们$-1/\sqrt{3}<x<1/\sqrt{3}$时，图像时凸的，其余部分是凹的。
注解1：我们已经在例子中说明，知道了$f’’(x_0)=0$不能保证$x=x_0$是拐点。我们还必须知道图像在$x_0$两侧的凹凸情况。考虑一个最简单的函数$y=f(x)=x^4$(图5)。$f’(x)=4x^3,f’’(x)=12x^2$，所以$x=0$处$f’’(x)=0$。然而，$f’’(x)$在$x=0$点的两侧均是正的，因此这个点对应的是极小值，不是拐点。函数$y=x^5-5x^4$给出了一个更复杂的类似情况。
$y’’=0$的根是$x=0,x=3$。然而，$y’’$在$x=0$处没有改变符号，所有只有$x=3$是拐点。图像在该点左边是凸的，右边是凹的。
注解2：我们很容易做出函数$y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$的图像(图6)，明显在$x=0$处有拐点。我们也可以通过求二阶导验证它
所以如果$x<0$，$y''$为正，$x>0$，$y’’$为负。然而，$y’’$在$x=0$处不存在。为了找到拐点，我们不仅要考虑$y’’=0$，还得考虑$y’’$不存在的情况。
注解3：有一个二阶导测试，也就是用二阶导来确定驻点是否为极大或极小值(非正式的用图7 来说明：如果$f’(x_0)=0$且$f’’(x_0)<0$，那么它是极大值(左图)；如果$f’(x_0)=0$且$f’’(x_0)>0$，那么它是极小值(右图))。有时候这个测试非常有用，但是经常被夸大了。之后我们会看到许多应用来确定极大极小值，没有哪种测试是万能的。