考虑三次方程
用正确的方法可能解决这个等式，也就是说，类似于二次公式
是二次方程$ax^2+bx+c=0$的精确解那样，存在一个公式也用基的形式来表示三次方程的解。然而，如果我们想要(1)的数值解，也就是精确几位数，那么更方便的是找找出近似解而不是精确解。更进一步，即便对于2,3,4次的等式有类似于二次公式那样的解，但对于5次或更高次不可能存在这种形式的解。因此，为了求解类似于$x^5-3x^2+9x-11=0$这样的5次方程，我们只能使用近似的方法，因为目前没有其他方法。
回到等式(1)，如果用$f(x)$表示$x^3-3x-5$，那么我们可以很容易计算出下面的值：
$f(2)=-3,f(3)=13$表明当$x$从$x=2$到$x=3$之间连续变化时，$f(x)$在-3到13之间连续变化，因此存在$x$值，使得$f(x)=0$。从直觉上感觉很明显，但是给出一个严格的证明确很困难。在这里我们不去证明，而是直接用结论。如果连续函数$f(x)$的两个值$f(a),f(b)$符号相反，那么至少在$a,b$之间至少存在一个值使得$f(x)=0$。这说明(2)式在$x=2,x=3$之间至少存在一个根，我们可以在这之间任取一个作为近似值。$x=2$似乎好一点，因为-3比13更靠近0。
一般来说，假设等式$f(x)=0$有一个近似值$x=x_1$。这个根就是曲线$y=f(x)$通过$x$轴的点，如图1；牛顿方法就是将$x=x_1$点处的切线作为基础来获得更好的近似解$x_2$。从近似解$x=x_1$开始，我们画出点$(x_1,f(x_1))$处的切线。这条线与$x$轴交于点$x=x_2$，从图中看它似乎更好。重复这个过程，用$(x_2,f(x_2))$处的切线得到点$x=x_3$，比$x_2$还好。图1从几何过程解释了这个步骤，但是为了用于计算，我们需要具体的公式。推导如下。
第一条切线的斜率为$f’(x_1)$。考虑由点$(x_2,0),(x_1,f(x_1)$确定的直线，其斜率也是
根据等式可得
所以
由此有了第一个近似值$x_1$，那么根据(2)可以得到第二个近似值；再由第二个可以得到第三个
如此进行下去直到无定义为止。